วันอังคารที่ 25 พฤศจิกายน พ.ศ. 2557

ลำดับเลขคณิต

บทนิยาม     ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่  1   เรียกว่า ลำดับ
                 ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    { 1, 2, 3, …, n }  เรียกว่า    ลำดับจำกัด
                 และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }  เรียกว่า   ลำดับอนันต์
    ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป
                        กล่าวคือ  ถ้า a  เป็น ลำดับจำกัด  จะเขียนแทนด้วย   a1,   a2,  a3,  …,  an 
                        และ        ถ้า a  เป็น ลำดับอนันต์  จะเขียนแทนด้วย  a1,  a2,  a3,  …,  an,  … 
                        เรียก           a1   ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ        
                        เรียก          a2   ว่า  พจน์ที่ 2  ของลำดับ        
                        เรียก          a3   ว่า  พจน์ที่ 3  ของลำดับ      
                                          .
                                           .
                                           .
                        และเรียก   an  ว่า  พจน์ที่ n  ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ
ตัวอย่างของลำดับ
                        1)   4,  7,  10,  13    เป็น   ลำดับจำกัด  ที่มี
                                            a1             =           4 
                                            a2             =           7
                                            a3             =            10
                                            a4             =            13    
                                                              .
                                                              .
                                                              .

                                และ     an             =            3n + 1
                         2)    – 2,  1,  6,  13,  …   เป็น   ลำดับอนันต์    ที่มี
                                                                              a1             =           – 2  
                                             a2             =           1
                                             a3             =           6
                                             a4             =           13    
                                                               .
                                                               .
                                                               .

                                  และ   an             =            n2 – 3
            การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n  หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน
ตัวอย่าง
 1)      ลำดับ  4,  7,  10,  13    อาจเขียนแทนด้วย
     an     =  3n  +  1                                เมื่อ  n     {  1,  2,  3,  4  }
  2)     ลำดับ   – 2 ,  1,  6,  13,  …  อาจเขียนแทนด้วย
                                an     =      n2 – 3                               เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็มบวก
หมายเหตุ ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน   ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น  ลำดับอนันต์
                บทนิยาม   ลำดับเลขคณิต  คือ  ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1  ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม  ( Common  difference )
ถ้า  a1,  a2,  a3,  …,  an,  an+1 ,  … เป็นลำดับเลขคณิต  แล้ว
จะได้  a2 – a1  =   a3 –   a2   =   …   =   an+1 –  a   เท่ากับ  ค่าคงที่ 
 เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ ผลต่างร่วม ” (Common difference)    เขียนแทนด้วย   d  
 จากบทนิยาม                      d           =        an+1  –   a   
 หรือ                                        an+1        =        a   +    d
ความหมายของลำดับเลขคณิต
                        พิจารณา         ลำดับ   1,  4,  7,  10,  …


                          ซึ่ง            a2  –   a1      =       4 – 1   =       3
                                           a3  –   a2      =       7 – 4   =       3
                                           a4  –   a3      =      10 – 7  =       3
                จะเห็นว่า  ผลต่างของพจน์หลัง ลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ เท่ากับ  3
เรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม  และเรียกลำดับนี้ว่า  ลำดับเลขคณิต
 ตัวอย่าง  ลำดับเลขคณิต
            1.    ลำดับ   1,  3,  5, …,  99   เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   2
            2.    ลำดับ   6,  3,  0, …, -27  เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ  -3
            3.    ลำดับ   5,  5,  5, …,  5     เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   0
            4.    ลำดับ   0,  0,  0, …,  0     เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   0
             จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ถ้า  d = 0  จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากันและเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับคงตัว”  เช่น ข้อ 3 และข้อ 4  เราสามารถกำหนด ลำดับเลขคณิต a1,  a2,  a3, …,  an, … ดังนี้
                 ให้ a1 เป็นพจน์แรกของลำดับ  และ d  เป็นผลต่างร่วม 
                 และให้      an         =        an – 1  +   d             เมื่อ   n     2
                      จะได้    a2         =         a1    +   d
                                   a3         =         a2    +   d       
                                               =         ( a1  +  d )  +  d                 =             a1  +  2d
                                   a4         =         a3  +  d        
                                               =         ( a1  + 2d )  +  d                =             a1  +  3d
                                                .
                                                .
                                                .
                                     an       =         a1 + (n – 1 )d
ดังนั้น  รูปทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ  a1,  a1+ d,  a1 + 2d,  a1 + 3d,..., a1 + (n – 1 )d    
การหาพจน์ต่าง ๆ ของลำดับเลขคณิต
                กำหนดลำดับเลขคณิต   a,  a,  a,  …   ให้ a1 เป็นพจน์แรกของลำดับและ d  เป็นผลต่างร่วม  จะเขียนพจน์อื่นๆของลำดับเลขคณิตในรูปของ a1  และ d  ดังนี้
                                        a1        =        a1
                                        a2        =        a1 + d
                                        a3        =         a1 + 2d
                                        a4        =         a1 + 3d
                                                 
   .
                                                    .
                                                    .
                           ดังนั้น    an       =        a1  +  ( n – 1 )d
สรุป   พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ    
                                an       =        a1  +  ( n – 1 )d
      เมื่อ an     คือ     พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต
                a1    คือ     พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต
                 n      คือ     ตำแหน่งของพจน์ที่ n
                 d      คือ     ผลต่างร่วม  (พจน์ที่ n+1 ลบด้วย พจน์ที่ n)


ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับลายขัด

                ลายขัดถือได้ว่าเป็นลายพื้นฐานของเครื่องจักสานซึ่งอาจจะเป็นลวดลายเบื้องต้นของการทำเครื่องจักสานที่เก่าแก่ที่สุดก็ได้ลักษณะของลายขัดเป็นการสร้างแรงยึดระหว่างกันด้วยการขัดกันของตอกหรือวัสดุอื่นด้วยการขัดกันเป็นมุมฉากระหว่างแนวตั้งหรือเส้นตั้ง (Vertical)และแนวนอนหรือเส้นนอน(Horizontal)อาจจะขัดกันให้เกิดช่องว่างระหว่างเส้นตอกเป็นตาสี่เหลี่ยมเล็กใหญ่อย่างไรก็ได้
                 ลายขัดได้วิวัฒนาการจากการสารขัดกันระหว่างเส้นตอกแนวนอนอย่างล่ะเส้น มาเป็นการใช้เส้นตอกแนวละหลายๆ เส้น ขัดสลับกันทำให้เกิดลายใหม่ๆ ขึ้นหรืออาจจะสอดทแยงเข้าไประหว่างเส้นตั้งและเส้นนอนก็ได้ จะได้ลายใหม่ขึ้นเช่นกันหรือจะให้ลายขัดกันในลักษณะแนวทแยงมีช่องว่างระว่างเป็นรูปข้าวหลามตัดก็ได้ หรือจะเพิ่มเส้นตอกด้วยกันยกและข่มสลับกันไป ลายสองและลายสามจะทำให้ได้ลวดลายขัดที่ละเอียดยิ่งขึ้น และมีลวดลายที่ประกฎบนผิวแปลกออกไปด้วย


                ถ้าพิจารณาแล้วจะเห็นว่า ลายขัดเป็นแม่แบบ ของลายสานทั้งปวงซึ่งมีอยู่ในงานจัดสานของชนชาติต่างๆทั่วไปและเป็นลายที่วิวัฒนาการขึ้นมาเป็นลายต่างๆตามความต้องการด้านประโยชน์ใช้สอยได้มากมาย ตั้งแต่ลายขัดธรรมดา ด้วยการยกเส้นหนึ่ง สอดขัดเข้าไปเส้นหนึ่ง มาจนถึงยกสองเส้นข่มสอง ซึ่งเรียกว่า ลายสอง ยกสามเส้นข่มสามเส้นเรียกว่าลายสามเรื่อยไปจนถึงการสานแบบยกดอกเป็นลวดลายต่างๆ

วันจันทร์ที่ 24 พฤศจิกายน พ.ศ. 2557

การวิเคราะห์ลายขัดในรูปลำดับเลขคณิต


                1.  ลายหนึ่ง

ภาพที่ 1 แสดงวิธีการวิเคราะห์ลายหนึ่ง
                จากการศึกษาวิเคราะห์ลายหนึ่ง  จะได้ว่า  การสานลายหนึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปลำดับเลขคณิตได้ดังนี้
                2.  ลายสอง
ภาพที่ 2  แสดงวิธีการวิเคราะห์ลายสอง
                จากการศึกษาวิเคราะห์ลายสอง  จะได้ว่า  การสานลายสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปลำดับเลขคณิตได้ดังนี้
                3.  ลายสาม
ภาพที่ 3 แสดงวิธีการวิเคราะห์ลายสาม
                จากการศึกษาวิเคราะห์ลายสาม  จะได้ว่า  การสานลายสามสามารถเขียนให้อยู่ในรูปลำดับเลขคณิตได้ดังนี้



การสานลายสาม


วิธีการสานลายสาม
         1.  สานเส้นที่ 1 ข้ามทับ 3 เส้น ยกสอด 3 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
         2.  สานเส้นที่ 2 ยกสอด 1 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น ยกสอด 3 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
         3.  สานเส้นที่ 3  ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น ยกสอด 3 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
         4.  สานเส้นที่ 4 ยกสอด 3 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น ยกสอด 3 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
         5.  สานเส้นที่ 5 ข้ามทับ 1 เส้น ยกสอด 3 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
         6.  สานเส้นที่ ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 3 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
         7.  สานเส้นที่ 7,8,9,….,n จะสานตามขั้นตอนที่ 1-6 ตามลำดับ สานไปเรื่อยๆตามต้องการ

ภาพการสานลายสาม

การสานลายสอง


วิธีการสานลายสอง
           1.  สานเส้นที่ 1 ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
           2.  สานเส้นที่ 2 ยกสอด 1 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
           3.  สานเส้นที่ 3 ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
           4.  สานเส้นที่ 4 ข้ามทับ 1 เส้น ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
           5.  สานเส้นที่ 5,6,7,….,n จะสานตามขั้นตอนที่ 1-4 ตามลำดับ สานไปเรื่อยๆตามต้องการ

ภาพการสานลายสอง
              

การสานลายหนึ่ง



วิธีการสานลายหนึ่ง
             1.  สานเส้นที่ 1 วางวัสดุเส้นสานโดยข้ามทับ 1 เส้น ยกสอด 1 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
             2.  สานเส้นที่ 2 สอดวัสดุเส้นสานโดยยกสอด 1 เส้น  ข้ามทับ 1 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว
             3. สานเส้นที่ 3,4,5,….n จะสานสลับตามขั้นตอนที่ 1 และตามด้วยขั้นตอนที่ 2 ไปเรื่อยๆ ตามต้องการ

ภาพการสานลายหนึ่ง
                

วันศุกร์ที่ 21 พฤศจิกายน พ.ศ. 2557

ที่มาและความสำคัญ


ที่มาและความสำคัญ

                คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างสรรค์  การแก้ปัญหาและการใช้เหตุ  ซึ่งในชีวิตประจำวันของมนุษย์เรานี้จะล้อมรอบไปด้วยคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น ไม่ว่าจะเป็นภูมิปัญญาท้องถิ่นของเราก็จะเป็นงานที่สื่อถึงคณิตศาสตร์เช่นกัน  ในงานเครื่องจักสานนั้นส่วนใหญ่แล้วจะมีลวดลายต่างๆ มากมาย  ลายที่เกิดขึ้นก็จะเกิดจากการที่มนุษย์เรานั้นสานขึ้นเพื่อนำมาใช้เป็นเครื่องมือเครื่องใช้ในชีวิตประจำวัน  ลวดลายจากงานสานนั้นจะมีความละเอียด ประณีตงดงามเป็นอย่างมาก  เนื่องจากก่อนจะเกิดลายต่างๆมากมาย  คนในสมัยก่อนก็จะเริ่มจากการสานขัดกันไปมาแล้วก็ต่อยอดความคิดมาเรื่อยๆ แต่ผู้คนส่วนใหญ่จะไม่ได้คิดถึงหลักการสร้างงานลวดลายในการสานโดยการใช้หลักการทางคณิตศาสตร์  ดังนั้นจึงได้ทำการศึกษาลายขัดในงานสานโดยใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้ทราบถึงการสร้างลายต่างๆโดยใช้หลักการทางคณิตศาสตร์  และรู้ถึงการใช้หลักการคณิตศาสตร์ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม