ลำดับเลขคณิต

บทนิยาม     ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่  1   เรียกว่า ลำดับ

                 ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    { 1, 2, 3, …, n }  เรียกว่า    ลำดับจำกัด

                 และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }  เรียกว่า   ลำดับอนันต์

    ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

                        กล่าวคือ  ถ้า a  เป็น ลำดับจำกัด  จะเขียนแทนด้วย   a₁,   a₂,  a₃,  …,  a_n 

                        และ        ถ้า a  เป็น ลำดับอนันต์  จะเขียนแทนด้วย  a₁,  a₂,  a₃,  …,  a_n,  … 

                        เรียก           a₁   ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ        

                        เรียก          a₂   ว่า  พจน์ที่ 2  ของลำดับ        

                        เรียก          a₃   ว่า  พจน์ที่ 3  ของลำดับ      

                                          .

                                           .
                                           .

                        และเรียก   a_n  ว่า  พจน์ที่ n  ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

ตัวอย่างของลำดับ

                        1)   4,  7,  10,  13    เป็น   ลำดับจำกัด  ที่มี

                                            a₁             =           4 
                                            a₂             =           7
                                            a₃             =            10
                                            a₄             =            13    

                                                              .
                                                              .
                                                              .
                                และ     a_n             =            3n + 1

                         2)    – 2,  1,  6,  13,  …   เป็น   ลำดับอนันต์    ที่มี

                                                                              a₁             =           – 2  
                                             a₂             =           1
                                             a₃             =           6
                                             a₄             =           13    

                                                               .
                                                               .
                                                               .
                                  และ   a_n             =            n² – 3

            การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n  หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน

ตัวอย่าง

 1)      ลำดับ  4,  7,  10,  13    อาจเขียนแทนด้วย

     a_n     =  3n  +  1                                เมื่อ  n     {  1,  2,  3,  4  }

  2)     ลำดับ   – 2 ,  1,  6,  13,  …  อาจเขียนแทนด้วย

                                a_n     =      n² – 3                               เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็มบวก

หมายเหตุ ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน   ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น  ลำดับอนันต์

                บทนิยาม   ลำดับเลขคณิต  คือ  ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1  ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม  ( Common  difference )

ถ้า  a₁,  a₂,  a₃,  …,  a_n,  a_n+1 ,  … เป็นลำดับเลขคณิต  แล้ว

จะได้  a₂ – a₁  =   a₃ –   a₂   =   …   =   a_n+1 –  a_n    เท่ากับ  ค่าคงที่ 

 เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ ผลต่างร่วม ” (Common difference)    เขียนแทนด้วย  “ d  ”

 จากบทนิยาม                      d           =        a_n+1  –   a_n    

 หรือ                                        a_n+1        =        a_n    +    d

ความหมายของลำดับเลขคณิต

                        พิจารณา         ลำดับ   1,  4,  7,  10,  …

                          ซึ่ง            a₂  –   a₁      =       4 – 1   =       3

                                           a₃  –   a₂      =       7 – 4   =       3

                                           a₄  –   a₃      =      10 – 7  =       3

                จะเห็นว่า  ผลต่างของพจน์หลัง ลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ เท่ากับ  3

เรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า  ผลต่างร่วม  และเรียกลำดับนี้ว่า  ลำดับเลขคณิต

 ตัวอย่าง  ลำดับเลขคณิต

            1.    ลำดับ   1,  3,  5, …,  99   เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   2

            2.    ลำดับ   6,  3,  0, …, -27  เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ  -3

            3.    ลำดับ   5,  5,  5, …,  5     เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   0

            4.    ลำดับ   0,  0,  0, …,  0     เป็นลำดับเลขคณิต   มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ   0

             จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ถ้า  d = 0  จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากันและเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับคงตัว”  เช่น ข้อ 3 และข้อ 4  เราสามารถกำหนด ลำดับเลขคณิต a₁,  a₂,  a₃, …,  a_n, … ดังนี้
                 ให้ a₁ เป็นพจน์แรกของลำดับ  และ d  เป็นผลต่างร่วม 
                 และให้      a_n         =        a_{n – 1}  +   d             เมื่อ   n     2

                      จะได้    a₂         =         a₁    +   d

                                   a₃         =         a₂    +   d       

                                               =         ( a₁  +  d )  +  d                 =             a₁  +  2d

                                   a₄         =         a₃  +  d        

                                               =         ( a₁  + 2d )  +  d                =             a₁  +  3d

                                                .
                                                .
                                                .

                                     a_n       =         a₁ + (n – 1 )d

ดังนั้น  รูปทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ  a₁,  a₁+ d,  a₁ + 2d,  a₁ + 3d,..., a₁ + (n – 1 )d    

การหาพจน์ต่าง ๆ ของลำดับเลขคณิต

                กำหนดลำดับเลขคณิต   a₁ ,  a₂ ,  a₃ ,  …   ให้ a₁ เป็นพจน์แรกของลำดับและ d  เป็นผลต่างร่วม  จะเขียนพจน์อื่นๆของลำดับเลขคณิตในรูปของ a₁  และ d  ดังนี้

                                        a₁        =        a₁

                                        a₂        =        a₁ + d

                                        a₃        =         a₁ + 2d

                                        a₄        =         a₁ + 3d
                                                    .
                                                    .
                                                    .

                           ดังนั้น    a_n       =        a₁  +  ( n – 1 )d

สรุป   พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ    

                                a_n       =        a₁  +  ( n – 1 )d

      เมื่อ a_n     คือ     พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต
                a₁    คือ     พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต

                 n      คือ     ตำแหน่งของพจน์ที่ n

                 d      คือ     ผลต่างร่วม  (พจน์ที่ n+1 ลบด้วย พจน์ที่ n)

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับลายขัด

                ลายขัดถือได้ว่าเป็นลายพื้นฐานของเครื่องจักสานซึ่งอาจจะเป็นลวดลายเบื้องต้นของการทำเครื่องจักสานที่เก่าแก่ที่สุดก็ได้ลักษณะของลายขัดเป็นการสร้างแรงยึดระหว่างกันด้วยการขัดกันของตอกหรือวัสดุอื่นด้วยการขัดกันเป็นมุมฉากระหว่างแนวตั้งหรือเส้นตั้ง (Vertical)และแนวนอนหรือเส้นนอน(Horizontal)อาจจะขัดกันให้เกิดช่องว่างระหว่างเส้นตอกเป็นตาสี่เหลี่ยมเล็กใหญ่อย่างไรก็ได้

                 ลายขัดได้วิวัฒนาการจากการสารขัดกันระหว่างเส้นตอกแนวนอนอย่างล่ะเส้น มาเป็นการใช้เส้นตอกแนวละหลายๆ เส้น ขัดสลับกันทำให้เกิดลายใหม่ๆ ขึ้นหรืออาจจะสอดทแยงเข้าไประหว่างเส้นตั้งและเส้นนอนก็ได้ จะได้ลายใหม่ขึ้นเช่นกันหรือจะให้ลายขัดกันในลักษณะแนวทแยงมีช่องว่างระว่างเป็นรูปข้าวหลามตัดก็ได้ หรือจะเพิ่มเส้นตอกด้วยกันยกและข่มสลับกันไป ลายสองและลายสามจะทำให้ได้ลวดลายขัดที่ละเอียดยิ่งขึ้น และมีลวดลายที่ประกฎบนผิวแปลกออกไปด้วย

                ถ้าพิจารณาแล้วจะเห็นว่า “ลายขัด” เป็นแม่แบบ ของลายสานทั้งปวงซึ่งมีอยู่ในงานจัดสานของชนชาติต่างๆทั่วไปและเป็นลายที่วิวัฒนาการขึ้นมาเป็นลายต่างๆตามความต้องการด้านประโยชน์ใช้สอยได้มากมาย ตั้งแต่ลายขัดธรรมดา ด้วยการยกเส้นหนึ่ง สอดขัดเข้าไปเส้นหนึ่ง มาจนถึงยกสองเส้นข่มสอง ซึ่งเรียกว่า ลายสอง ยกสามเส้นข่มสามเส้นเรียกว่าลายสามเรื่อยไปจนถึงการสานแบบยกดอกเป็นลวดลายต่างๆ

การวิเคราะห์ลายขัดในรูปลำดับเลขคณิต

                1.  ลายหนึ่ง

ภาพที่ 1 แสดงวิธีการวิเคราะห์ลายหนึ่ง

                จากการศึกษาวิเคราะห์ลายหนึ่ง  จะได้ว่า  การสานลายหนึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปลำดับเลขคณิตได้ดังนี้

                2.  ลายสอง

ภาพที่ 2  แสดงวิธีการวิเคราะห์ลายสอง

                จากการศึกษาวิเคราะห์ลายสอง  จะได้ว่า  การสานลายสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปลำดับเลขคณิตได้ดังนี้

                3.  ลายสาม

ภาพที่ 3 แสดงวิธีการวิเคราะห์ลายสาม

                จากการศึกษาวิเคราะห์ลายสาม  จะได้ว่า  การสานลายสามสามารถเขียนให้อยู่ในรูปลำดับเลขคณิตได้ดังนี้

การสานลายสาม

วิธีการสานลายสาม

         1.  สานเส้นที่ 1 ข้ามทับ 3 เส้น ยกสอด 3 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

         2.  สานเส้นที่ 2 ยกสอด 1 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น ยกสอด 3 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

         3.  สานเส้นที่ 3  ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น ยกสอด 3 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

         4.  สานเส้นที่ 4 ยกสอด 3 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น ยกสอด 3 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

         5.  สานเส้นที่ 5 ข้ามทับ 1 เส้น ยกสอด 3 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

         6.  สานเส้นที่ 6 ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 3 เส้น ข้ามทับ 3 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

         7.  สานเส้นที่ 7,8,9,….,n จะสานตามขั้นตอนที่ 1-6 ตามลำดับ สานไปเรื่อยๆตามต้องการ

ภาพการสานลายสาม

การสานลายสอง

วิธีการสานลายสอง

           1.  สานเส้นที่ 1 ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

           2.  สานเส้นที่ 2 ยกสอด 1 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

           3.  สานเส้นที่ 3 ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น  สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

           4.  สานเส้นที่ 4 ข้ามทับ 1 เส้น ยกสอด 2 เส้น ข้ามทับ 2 เส้น ยกสอด 2 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

           5.  สานเส้นที่ 5,6,7,….,n จะสานตามขั้นตอนที่ 1-4 ตามลำดับ สานไปเรื่อยๆตามต้องการ

ภาพการสานลายสอง

              

การสานลายหนึ่ง

วิธีการสานลายหนึ่ง

             1.  สานเส้นที่ 1 วางวัสดุเส้นสานโดยข้ามทับ 1 เส้น ยกสอด 1 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

             2.  สานเส้นที่ 2 สอดวัสดุเส้นสานโดยยกสอด 1 เส้น  ข้ามทับ 1 เส้น สานเส้นสลับกันไปตามแนวแถว

             3. สานเส้นที่ 3,4,5,….n จะสานสลับตามขั้นตอนที่ 1 และตามด้วยขั้นตอนที่ 2 ไปเรื่อยๆ ตามต้องการ

ภาพการสานลายหนึ่ง

                

ที่มาและความสำคัญ

ที่มาและความสำคัญ

                คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างสรรค์  การแก้ปัญหาและการใช้เหตุ  ซึ่งในชีวิตประจำวันของมนุษย์เรานี้จะล้อมรอบไปด้วยคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น ไม่ว่าจะเป็นภูมิปัญญาท้องถิ่นของเราก็จะเป็นงานที่สื่อถึงคณิตศาสตร์เช่นกัน  ในงานเครื่องจักสานนั้นส่วนใหญ่แล้วจะมีลวดลายต่างๆ มากมาย  ลายที่เกิดขึ้นก็จะเกิดจากการที่มนุษย์เรานั้นสานขึ้นเพื่อนำมาใช้เป็นเครื่องมือเครื่องใช้ในชีวิตประจำวัน  ลวดลายจากงานสานนั้นจะมีความละเอียด ประณีตงดงามเป็นอย่างมาก  เนื่องจากก่อนจะเกิดลายต่างๆมากมาย  คนในสมัยก่อนก็จะเริ่มจากการสานขัดกันไปมาแล้วก็ต่อยอดความคิดมาเรื่อยๆ แต่ผู้คนส่วนใหญ่จะไม่ได้คิดถึงหลักการสร้างงานลวดลายในการสานโดยการใช้หลักการทางคณิตศาสตร์  ดังนั้นจึงได้ทำการศึกษาลายขัดในงานสานโดยใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้ทราบถึงการสร้างลายต่างๆโดยใช้หลักการทางคณิตศาสตร์  และรู้ถึงการใช้หลักการคณิตศาสตร์ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม