บทนิยาม ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เรียกว่า ลำดับ
ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1,
2, 3, …, n } เรียกว่า ลำดับจำกัด
และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น {
1, 2, 3, … } เรียกว่า ลำดับอนันต์
ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป
กล่าวคือ ถ้า a เป็น ลำดับจำกัด จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an
และ ถ้า a เป็น ลำดับอนันต์ จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an, …
เรียก a1 ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a2
ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ
เรียก a3
ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ
.
..
และเรียก an ว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ
ตัวอย่างของลำดับ
1) 4, 7, 10, 13 เป็น ลำดับจำกัด ที่มี
a1
= 4
a2 = 7
a3 = 10
a4 = 13
a2 = 7
a3 = 10
a4 = 13
.
.
.
และ an = 3n + 1
.
.
และ an = 3n + 1
2) –
2, 1, 6, 13, … เป็น ลำดับอนันต์ ที่มี
a1
= –
2
a2 = 1
a3 = 6
a4 = 13
a2 = 1
a3 = 6
a4 = 13
.
.
.
และ an = n2 – 3
.
.
และ an = n2 – 3
การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n
หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน
ตัวอย่าง
1) ลำดับ 4, 7, 10, 13 อาจเขียนแทนด้วย
an = 3n + 1 เมื่อ n
{ 1, 2, 3, 4 }
2) ลำดับ – 2
, 1, 6, 13, … อาจเขียนแทนด้วย
an = n2 –
3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
หมายเหตุ ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น ลำดับอนันต์
บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือ
ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม (
Common difference )
ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลำดับเลขคณิต แล้ว
จะได้ a2 – a1 = a3 –
a2 = … = an+1 – an เท่ากับ ค่าคงที่
เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ ผลต่างร่วม ” (Common difference) เขียนแทนด้วย “ d ”
จากบทนิยาม
d = an+1 –
an
หรือ an+1 =
an + d
ความหมายของลำดับเลขคณิต
พิจารณา ลำดับ 1, 4, 7, 10, …
ซึ่ง a2 –
a1 = 4
– 1 = 3
a3 –
a2 = 7
– 4 = 3
a4 –
a3 = 10
– 7 = 3
จะเห็นว่า ผลต่างของพจน์หลัง ลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่
เท่ากับ 3
เรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า
ผลต่างร่วม และเรียกลำดับนี้ว่า ลำดับเลขคณิต
ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิต
1. ลำดับ 1, 3, 5,
…, 99 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 2
2. ลำดับ 6, 3, 0, …,
-27 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ -3
3. ลำดับ 5, 5, 5,
…, 5 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0
4. ลำดับ 0, 0, 0,
…, 0 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ
0
จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด
ๆ และ ถ้า d = 0 จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากันและเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับคงตัว” เช่น ข้อ 3 และข้อ 4
เราสามารถกำหนด ลำดับเลขคณิต a1, a2, a3,
…, an, … ดังนี้
ให้ a1 เป็นพจน์แรกของลำดับ และ d เป็นผลต่างร่วม
และให้ an = an – 1 + d เมื่อ n
2
ให้ a1 เป็นพจน์แรกของลำดับ และ d เป็นผลต่างร่วม
และให้ an = an – 1 + d เมื่อ n
จะได้ a2 = a1 + d
a3 = a2 + d
= (
a1 + d
) + d = a1 + 2d
a4
= a3 + d
= (
a1 + 2d
) + d = a1 + 3d
.
.
.
.
.
an = a1 +
(n – 1 )d
ดังนั้น รูปทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ a1, a1+
d, a1 + 2d, a1 +
3d,..., a1 + (n – 1 )d
การหาพจน์ต่าง
ๆ ของลำดับเลขคณิต
กำหนดลำดับเลขคณิต a1 , a2 , a3 , …
ให้ a1 เป็นพจน์แรกของลำดับและ d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่นๆของลำดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ดังนี้
a1 = a1
a2 = a1 +
d
a3 = a1 +
2d
a4 = a1 +
3d.
.
.
ดังนั้น an = a1 + (
n – 1 )d
สรุป พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ
an = a1 + (
n – 1 )d
เมื่อ an คือ พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต
a1 คือ พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต
a1 คือ พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต
n คือ ตำแหน่งของพจน์ที่ n
d คือ ผลต่างร่วม (พจน์ที่ n+1 ลบด้วย พจน์ที่ n)
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น